BOJ_12865_평범한 배낭

문제 이름 : 평범한 배낭 (12865번)

문제 유형 : DP (다이나믹 프로그래밍) , 배낭 문제

작성 언어 : C++

 

문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

예제 입력 1

4 7
6 13
4 8
3 6
5 12

예제 출력 1

14

 

 

풀이

문제는 평범한 배낭 이라고 써져있지만 평범하지않은것같다.

냅색 (knapsack) 또는 배낭채우기 문제라고 부른다. 이 문제를 푸는 방법은

브루트포스 ( 모든 경우의수를 체크 ) 는 O(n^2) 라 너무 느리고,

현재 상황에서 최적의해를 구해나가는 그리디알고리즘은

(ex :  가치/무게 가 가장 큰 것부터 넣는다 or 가치가 가장 큰것부터 넣는다)

최적의 답을 보장하지 못한다.

 

(만약 물건을 반으로쪼개서 or 원하는만큼 쪼개서 가져갈수있다면 : Fractional Knapsack 문제인경우

그리디알고리즘은 최적해를보장할수있다.)

 

"어떤 문제의 입력사례의 최적해가 그 입력사례를 분할한 부분사례에 대한 최적해를 항상 포함하고 있으면, 그 문제에 대하여 최적의 원리가 성립한다."

 

이 문제에서 이 원리가 성립할까? 집합 A를 n개의 물건들 중에 최적으로 고른 부분집합이라고 가정하자.

 

- 집합 A가 n번째 물건을 포함하고 있지 않다면, A는 n번째 물건을 뺀 나머지 n-1개의 물건들 중에서 최적으로 고른 부분집합과 같다.

- 집합 A가 n번째 물건을 포함하고 있다면, A에 속한 물건들의 총 가치는 n-1개의 물건들 중에서 최적으로 고른 가치의 집합에다가 물건 n의 가치를 더한 것과 같다. (단, n번째 물건을 넣었을 때 배낭의 무게가 초과하면 안된다.)

 

작성 코드

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<pair<int, int> > item;
int dp[100001][101];
int N, K;

int knapsack(int nowW, int idx) {
	if (idx == N) return 0;
	
	int nextW = item[idx].first;	
	int nextCost = item[idx].second;
	
	if (dp[nowW][idx]) return dp[nowW][idx];
	int ans = 0;
	
	if (nextW + nowW <= K) 
	{	//가방의 한도를 넘지않는다면 현재 물건 추가해주고 다음으로 
		ans = knapsack(nextW + nowW, idx + 1) + nextCost;
	}
	ans = max(ans, knapsack(nowW, idx + 1)); //가방한도초과 , 다음으로 
	return dp[nowW][idx] = ans;
}

int main() {
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	
	int w, cost;
	cin >> N >> K;
	
	for (int i=0; i<N; i++)
	{
		cin >> w >> cost;
		item.push_back({ w,cost });
	}
	cout << knapsack(0, 0) << "\n";
	return 0;
}

 

 

 

12865번: 평범한 배낭